1.2 피드백의 첫 번째 분석

 피드백의 가치는 익숙한 시스템의 단순화된 모델, 즉 자동차의 크루즈 컨트롤(그림 1.3)에 대한 정량적 분석을 통해 쉽게 입증할 수 있습니다. 이 상황을 분석적으로 연구하려면 변수 간의 정량적 관계 집합 형태로 시스템의 수학적 모델이 필요합니다.

이 예에서는 자동차의 동적 반응을 무시하고 정상 상태의 거동만 고려합니다. (물론 동역학은 이후 장에서 중요한 역할을 할 것입니다.) 또한, 시스템에서 사용할 속도 범위에 대해 관계를 선형으로 근사할 수 있다고 가정합니다. 평지에서 시속 65마일로 차량의 속도를 측정한 결과, 스로틀 각도(제어 변수)가 1° 변하면 속도가 시속 10마일 변하는 것을 발견했습니다. 언덕을 오르내리며 주행하는 동안 관찰한 결과, 경사도가 1% 변할 때 시속 5마일의 속도 변화가 측정되었습니다. 속도계는 1mph의 몇 분의 1까지 정확한 것으로 확인되었으며 정확한 것으로 간주됩니다. 이러한 관계를 이용하여, 이러한 수학적 관계를 그래픽 형태로 보여주는 플랜트의 블록 다이어그램(그림 1.4)을 그릴 수 있습니다. 이 다이어그램에서 연결선은 신호를 전달하며, 블록은 입력 신호에 블록에 표시된 값을 곱하여 출력 신호를 생성하는 이상적인 증폭기와 같습니다. 두 개 이상의 신호를 합하기 위해, 합산 기호 Σ가 있는 원 안에 합산 신호들을 나타내는 선을 표시합니다. 각 화살표 머리 옆에 있는 대수 기호(양수 또는 음수)는 입력 신호가 서머의 총 출력에 더해지는지 빼지는지를 나타냅니다. 이 분석을 위해, 기준 속도가 65로 설정되었을 때와 제어기에 피드백이 있을 때, 출력 속도에 1% 경사가 미치는 영향을 비교하고자 합니다.

Figure 1.3

Component block diagram of automobile cruise control

Figure 1.4

Block diagram of the cruise control plant

Figure 1.5

Open-loop cruise control

개방 루프 제어

그림 1.5에 표시된 첫 번째 경우, 컨트롤러는 속도계 값을 사용하지 않고 u = r/10으로 설정합니다. 이는
개방 루프 제어 시스템의 한 예입니다. 개방 루프라는 용어는 블록 다이어그램에서 신호가 이동하는 폐쇄 경로 또는 루프가 없다는 사실을 나타냅니다. 간단한 예에서 개방 루프 출력 속도 yol은
다음 방정식으로 주어집니다.

출력 속도의 오차는

그리고 오차율은 다음과 같습니다.

r = 65이고 도로가 평탄하면 w = 0이고 속도는 65이며 오차는 없습니다. 그러나 w = 1이면
1% 경사에 해당하므로 속도는 60이고 5mph 오차가 발생하며, 이는 속도 오차의 7.69%에 해당합니다.
경사가 2%이면 속도 오차는 10mph가 되며, 이는 오차의 15.38%에 해당합니다.
이 예는 w = 0일 때 오차가 없음을 보여주지만, 이 결과는 제어기 이득이
플랜트 이득 10의 정반대인 경우에 따라 달라집니다. 실제로 플랜트 이득은 변경될 수 있으며, 그럴 경우 오차가 발생합니다.
개루프 제어에서 플랜트 이득에 오차가 있는 경우, 속도 오차 백분율은 플랜트 이득 오차 백분율과 같습니다.

 

피드백 방식의 블록 다이어그램은 그림 1.6에 나와 있으며, 여기서 제어기 이득은 10으로 설정되었습니다. 이 간단한 예에서 블록이 표시되지 않은 이상적인 센서가 있다고 가정했습니다. 이 경우, 방정식은 다음과 같습니다.

이들을 결합하면 다음과 같습니다.

따라서 피드백은 구배에 대한 속도 오차의 민감도를 개방 루프 시스템에 비해 1/101만큼 감소시켰습니다.
그러나 w = 0일 때에도 평지에서는 작은 속도 오차가 발생합니다.

루프 이득(플랜트 이득과 제어기 이득의 곱)이 큰 한 이 오차는 작습니다.
다시 한 번 기준 속도 65mph를 고려하고 1% 경사각의 속도를 비교할 때, 출력 속도의 백분율 오차는 다음과 같습니다.

Figure 1.6 

Closed-loop cruise control

The design trade-off

 우리 예시에서 등급 외란 및 설비 이득에 대한 속도 감도가 감소하는 것은 피드백 사례에서 루프 이득이 100이기 때문입니다.
하지만 이 이득을 얼마나 높일 수 있는지에는 한계가 있습니다.
다이내믹스가 도입되면 피드백으로 인해 응답이 이전보다 악화되거나 시스템이 불안정해질 수 있습니다.
이러한 딜레마는 피드백 이득을 쉽게 변경할 수 있는 또 다른 익숙한 상황에서 잘 드러납니다.
공중 주소 증폭기의 이득을 너무 높이려고 하면 사운드 시스템에서 매우 불쾌한 끽끽거리는 소리가 납니다. 이는
스피커에서 마이크, 증폭기를 거쳐 다시 스피커로 이어지는 피드백 루프의 이득이 너무 큰 상황입니다.
시스템이 불안정해지고 끽끽거리는 소리가 나지 않도록 오류를 줄이기 위해 이득을 최대한 높이는 방법이 피드백 제어 설계의 핵심입니다.